Бахму́т — русское название, со времён царя Петра I (и даже Ивана Грозного), а вот Артёмовск — украинское название, в честь деятеля советской Украины.
Бахму́т — от названия реки, название имеет тюркское происхождение и оно очень старое. А вот «товарищ Артëм» (кличка большевика) возглавлял Наркомат пропаганды Украинской ССР в 1919-20 годы.